1단계: 조건 (가)를 만족시키는 함수의 개수
제시문 [나]에 의하여 함숫값 \(f(1)\le f(2)\le \cdots \le f(5)\)의 나열은 \(X\)의 원소 5개 중에서 중복을 허락하여 5개를 택하는 방법과 일대일대응한다. 따라서 \[{}_5\mathrm{H}_5={}_9\mathrm{C}_5=126\]이다.

2단계: \(f(3)=3\)인 경우
\(f(1)\le f(2)\le 3\)이므로 \(f(1), f(2)\)는 \(\{1,2,3\}\)에서 중복을 허락하여 2개를 택하는 방법 \({}_3\mathrm{H}_2={}_4\mathrm{C}_2=6\)가지, \(3\le f(4)\le f(5)\)이므로 \(f(4),f(5)\)는 \(\{3,4,5\}\)에서 \({}_3\mathrm{H}_2=6\)가지이다. 곱의 법칙에 의하여 \(6\times 6=36\)이다.

3단계: \(f(1)+f(5)=6\)인 경우의 분류
\(f(1)\in\{1,2,3\}\), \(f(5)\in\{3,4,5\}\)이므로 \((f(1),f(5))=(1,5),(2,4),(3,3)\)이다.
(i) \((1,5)\): \(f(2)\in\{1,2,3\}\), \(f(4)\in\{3,4,5\}\) → \(9\)가지 (ii) \((2,4)\): \(f(2)\in\{2,3\}\), \(f(4)\in\{3,4\}\) → \(4\)가지 (iii) \((3,3)\): \(1\)가지
따라서 구하는 개수는 \(9+4+1=\mathbf{14}\)이다.

최종 정답: (1) \(126\) (2) \(36\) (3) \(14\)

1단계: 치환과 근의 조건
\(2^x=t\,(t\gt 0)\)로 놓으면 \(t^2-2kt+8=0\)이다. 제시문 [가]에 의하여 \(x\)와 \(t\)는 일대일대응이므로 \(t\)에 대한 방정식이 서로 다른 두 양의 실근을 가져야 한다. 제시문 [나]에서 \(k^2-8\gt 0,\ 2k\gt 0,\ 8\gt 0\)이므로 \(k\gt 2\sqrt2\)이다.

2단계: 두 근의 합이 일정함
두 양근을 \(t_1=2^{\alpha}, t_2=2^{\beta}\)라 하면 근과 계수의 관계에 의하여 \(t_1t_2=2^{\alpha+\beta}=8=2^3\)이므로 \(\alpha+\beta=3\)으로 \(k\)에 관계없이 일정하다.

3단계: \(|\alpha-\beta|=1\)인 경우
\(\alpha\gt\beta\)라 하면 \(\dfrac{t_1}{t_2}=2^{\alpha-\beta}=2\)이고 \(t_1t_2=8\)이므로 \(t_1=4, t_2=2\)이다. \(t_1+t_2=2k=6\)에서 \(k=\mathbf{3}\)이고, 이는 \(k\gt 2\sqrt2\)를 만족시킨다.

최종 정답: (1) \(k\gt 2\sqrt2\) (2) \(\alpha+\beta=3\) (3) \(k=3\)

1단계: \(r\)와 \(V(h)\)
구의 중심에서 원뿔의 밑면까지의 거리는 \(|h-3|\)이므로 \(r^2=9-(h-3)^2=6h-h^2\)이다. 따라서 \[V(h)=\frac{1}{3}\pi(6h-h^2)h=\frac{\pi}{3}(6h^2-h^3)\]이다.

2단계: 증감 조사와 최댓값
\(V'(h)=\dfrac{\pi}{3}(12h-3h^2)=\pi h(4-h)\)이다. \(0\lt h\lt 4\)에서 \(V'\gt0\), \(4\lt h\lt 6\)에서 \(V'\lt0\)이므로 \(h=4\)에서 극대이자 최대이다. \(V(4)=\dfrac{\pi}{3}(96-64)=\dfrac{32}{3}\pi\)이다.

3단계: 옆넓이
\(h=4\)일 때 \(r^2=8\), \(r=2\sqrt2\), \(l=\sqrt{r^2+h^2}=\sqrt{24}=2\sqrt6\)이므로 옆넓이는 \(\pi\cdot 2\sqrt2\cdot 2\sqrt6=\mathbf{8\sqrt3\,\pi}\)이다.

최종 정답: (1) \(r=\sqrt{6h-h^2}\), \(V=\frac{\pi}{3}(6h^2-h^3)\) (2) \(h=4\), \(\frac{32}{3}\pi\) (3) \(8\sqrt3\pi\)

1단계: 방향 전환 시각과 위치
\(v(t)=(t-1)(t-3)\)은 \(t=1, 3\)의 좌우에서 부호가 바뀌므로 제시문 [나]에 의하여 운동 방향이 바뀌는 시각은 \(t=1, 3\)이다. 위치는 \(x(t)=\dfrac{t^3}{3}-2t^2+3t\)이므로 \(x(4)=\dfrac{64}{3}-32+12=\dfrac{4}{3}\)이다.

2단계: 움직인 거리
\(\displaystyle\int_0^1 v\,dt=x(1)=\frac43\), \(\displaystyle\int_1^3 v\,dt=x(3)-x(1)=0-\frac43=-\frac43\), \(\displaystyle\int_3^4 v\,dt=\frac43-0=\frac43\)이다. 따라서 움직인 거리는 \(\dfrac43+\dfrac43+\dfrac43=\mathbf{4}\)이다.

3단계: 다시 원점에 오는 시각
\(x(t)=\dfrac{t}{3}(t^2-6t+9)=\dfrac{t(t-3)^2}{3}\)이므로 \(t\gt0\)에서 \(x(t)=0\)인 시각은 \(t=\mathbf{3}\)이다.

최종 정답: (1) \(t=1, 3\), \(x(4)=\frac43\) (2) \(4\) (3) \(t=3\)